二维动态规划

题目链接-来源：力扣（LeetCode）

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

思路：

由于题目限定了前进方向，我们的工作量大大简化。建立一个二维数组 dp[i][j] 存储当前第 i 行第 j 列的格子可能取得的最高价值礼物，那么递推式很容易给出：
dp[i][j] = Max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
细节上，单独处理 dp[0][j] 和 dp[i][0] 防止越界即可。
时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：O(n²) 如果直接修改原数组的话，则可以达到O(1)复杂度

实现：

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class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            grid[i][0] += grid[i - 1][0];
        }
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            grid[0][j] += grid[0][j - 1];
        }
        
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                grid[i][j] += Integer.max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
            }
        }
        
        return grid[m - 1][n - 1];
    }
    
}