找规律

题目链接-来源：力扣（LeetCode）

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

思路：

很遗憾，这类题目没有什么直接的思路，只能通过观察尝试找出其中的规律。
注意到，对于任意给定的 n，我们将其分解为 3 或者 3 之后，所得的乘积最大。（由于分解为 1 的情况下乘积一定为 1，排除。对于 n = 4，有 4 = 2 + 2 = 2 * 2，从 n = 5 开始，有 5 = 2 + 3 < 2 * 3， 6 = 3 + 3 = 2 + 2 + 2 < 2 * 2 * 2 < 3 * 3）
事实上，在实数范围内，具有这样特性的因子是 e ≈ 2.7。因为由均值不等式
(x1 + x2 + … + xm) / m >= (x1x2…xm)^(1/m) (当且仅当x1 = x2 = … xm取等号)
我们能得到 x^m = x^(n/x) = (x^(1/x))^n
而 x^(1/x) 的极值就是 e，在整数域，我们只能取 x = 3 近似，次优选择是 x = 2，与我们的观察不谋而合。
那么我们的算法就是优先把这个数字切成长度为 3 的段，最后一段不小于2即可。

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

实现：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if (n == 2) {
            return 1;
        }
        if (n == 3) {
            return 2;
        }
        if (n == 4) {
            return 4;
        }
        
        int prod2 = 1;
        
        for (int rest = n; rest > 0; rest -= 3) {
            if (rest >= 5) {
                prod2 *= 3;
            } else {
                prod2 *= rest;
                rest = 0;
            }
        }
        
        return prod2;
    }
}